ここで注目したいのは、四目ナカデの石を取る過程で、三目ナカデの形ができることです（白 6）。四目ナカデから三目ナカデまで黒が何手打ったかを数えましょう。

四目ナカデから三目ナカデになるのは、内ダメを 3 つ詰められて白が取り返したタイミングです。白の立場からすると、ダメが残り 1 個になった時点で相手の石を取りに行く必要があるので、白の内ダメの数である 4 から、黒が残り 1 個になるまでは $4 - 1 = 3$ 手ですが、このタイミングで白は内ダメを詰めた黒を取るために 1 手打たなければならないのでその 1 手分相殺して $3-1=2$ 手で四目ナカデから三目ナカデになることになります。

同様に、五目ナカデは石をとる過程で必然的に四目ナカデの形になりますが、五目ナカデから四目ナカデになるまでの手数が内ダメの数 5 から内ダメが 1 個になるまでの 4 手から白の応手 1 手分を差し引いて $5-1-1=3$ 手となります。六目ナカデも同様で、六目ナカデから五目ナカデになるまでの手数は $6-1-1=4$ 手です。

公式化と導出

法則が見えました。 $N+1$ 目ナカデが $N$ 目ナカデになるまでに必要な手数は $(N+1)-1-1=N-1$ 手ということです（ただし、 $N = 3, 4, 5$ ）。したがって、 $N$ 目ナカデを取る手数を $C_{N}$ としたとき、以下の法則が成り立ちます。

$C_{N+1}-C_{N}=N-1$

大きいナカデから小さいナカデになるまでの変化を得ましたが、実際は小さいナカデの手数から大きいナカデの手数を計算したいのですから、 $C_{N}$ を右辺に移項して

$C_{N+1}=C_{N}+N-1$

とすることで、小さいナカデ（三目ナカデ）の手数から順次大きいナカデの手数を計算していくことができます。

三目ナカデが 3 手で取れること（ $C_{3} = 3$ ）は容易にわかるので、上記の公式に当てはめれば

$C_{4}=C_{3}+3-1=3+3-1=5$ ,

$C_{5}=C_{4}+4-1=5+4-1=8$ ,

$C_{6}=C_{5}+5-1=8+5-1=12$

と順次求めることができ、格言の三三四五五八六十二を導くことができました。

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三三四五五八六十二の導き方

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